Was ist die Brennweite? Formel und Anleitung zur Berechnung

Was ist die Brennweite? Umfassende Anleitung zu Formeln und Rechnern

Beherrschen Sie die Brennweitenformel und verstehen Sie, welche Bedeutung die Brennweite eines Objektivs für das optische Design hat. Interaktive Rechner mit technisch korrekten Formeln für EFL, BFL und FOV.

Sofort FOV-Berechnungen
2 Rechner Interaktive Tools
15 Min. Umfassender Leitfaden

Was ist die Brennweite eines Objektivs? Technische Definition

Die Brennweite ist der Abstand zwischen der hinteren Hauptebene des Objektivs und dem hinteren Brennpunkt, wenn das Objektiv auf unendlich fokussiert ist, gemessen in Luft (Brechungsindex n = 1). Zusammen mit der Sensorgröße bestimmt dieser grundlegende optische Parameter das Winkelbildfeld; zusammen mit der Objektentfernung bestimmt er den Vergrößerungsfaktor.

Technische Präzision

For thick lens systems, focal length is specifically measured from the rear principal plane H' to the rear focal point F'. For thin lenses where thickness t << f, the principal planes coincide at the lens center, simplifying to the elementary definition.

Die Brennweite von Linsensystemen bestimmt zwei umgekehrte Abhängigkeiten:

  • Längere Brennweite → Engeres Sichtfeld + Höhere Vergrößerung
  • Kürzere Brennweite → Größeres Sichtfeld + Geringere Vergrößerung

Die Brennweitengleichung: Gaußsche Optik

Die grundlegende Brennweitengleichung verbindet Objektentfernung, Bildentfernung und Brennweite mithilfe der Gaußschen Linsenformel:

1/f = 1/u + 1/v Gaußsche Linsengleichung (Vorzeichenkonvention: reelle Zahlen sind positiv)
Wo: f = Brennweite, u = Objektentfernung, v = Bildabstand
Alle Abstände wurden von den Hauptebenen aus gemessen

Für Optikingenieure tritt die Brennweitengleichung häufiger in ihrer Vergrößerungsform auf:

m = v/u = f/(u - f) Seitliche Vergrößerung (Konvention: „Real“ ist positiv)
Gibt den Betrag der Vergrößerung an; das reale Bild ist seitenverkehrt
Gilt nur für paraxiale Strahlen

Welche Rolle spielt die Brennweite beim Sichtfeld?

Um zu verstehen, was die Brennweite ist, muss man ihren Zusammenhang mit dem Sichtfeld betrachten. Bei geradlinigen Objektiven ergibt sich das Winkel-Sichtfeld wie folgt:

θ = 2 × arctan(d/(2f)) Sichtfeld bei geradliniger Projektion
θ = Gesamtwinkel des Sichtfelds, d = Sensorabmessung, f = effektive Brennweite
Valid only for distortion < 2% and non-fisheye lenses

Brennweitenrechner – Ermitteln Sie die erforderliche EFL

Erforderliche Brennweite: 5,54 mm

Entscheidender Unterschied: EFL vs. BFL

Effektive Brennweite (EFL): Optischer Abstand von der hinteren Hauptebene zur Brennebene (bestimmt das Sichtfeld)
Hintere Brennweite (BFL): Mechanischer Abstand vom hinteren Linsenhöckel zur Brennebene (bestimmt den Einbauraum)
Flanschbrennweite: Abstand zwischen Anschluss und Sensor (17,526 mm bei C-Mount, variabel bei M12)

Vergrößerungsrechner

Vergrößerungsfaktor: 3,1×

Korrekturen für das Sensorformat

Format Diagonale (mm) Breite × Höhe (mm) Crop-Faktor
1/3" 6.0 4,8 × 3,6 7.2×
1/2,3" 7.7 6,2 × 4,6 5.6×
1/2" 8.0 6,4 × 4,8 5.4×
1/1,8" 8.9 7,2 × 5,3 4.9×
2/3" 11.0 8,8 × 6,6 3.9×
1" 16.0 12,8 × 9,6 2.7×

Informationen zu Sensorabmessungen, Pixelgröße und Objektivkompatibilität, die über diese Tabelle hinausgehen, finden Sie in der vollständigen Liste der Bildsensoren.

Fortgeschrittene optische Überlegungen

Telezentrizität in der industriellen Bildverarbeitung

Bei Messanwendungen gewährleisten telezentrische Objektive eine konstante Vergrößerung, unabhängig von der Objektentfernung innerhalb der Schärfentiefe. Bei der telezentrischen Abbildung im Objektraum befindet sich die Eintrittspupille im Unendlichen, während bei der telezentrischen Abbildung im Bildraum die Austrittspupille im Unendlichen liegt, wodurch sichergestellt wird, dass die Hauptstrahlen parallel zur optischen Achse verlaufen.

Zusammenhang zwischen Blendenzahl und numerischer Apertur

f/# = f/D = 1/(2×NA) for NA << 1 Dabei ist D = Durchmesser der Eintrittspupille, NA = numerische Apertur
Bestimmt die Schärfentiefe und die Beugungsgrenze

Welchen Einfluss hat die Brennweite auf die Systemauslegung?

Um zu verstehen, was die Brennweite von Linsensystemen ist, muss Folgendes berücksichtigt werden:

  • Schärfentiefe: DOF ≈ 2Nc(u²/f²), wobei N = Blendenzahl, c = Verwirbelungskreis
  • Hyperfokaldistanz: H = f²/(Nc) + f
  • Beugungsgrenze: Durchmesser der Airy-Scheibe = 2,44λ(f/#)
  • Eintritts-/Austrittspupille: Bestimmt die Vignettierung und die Telezentrizität

Auswirkungen von Verzerrungen auf das Sichtfeld

Die Standardgleichung für die Brennweite geht von einer Verzerrung von Null aus. Tatsächliche Linsen weisen folgende Eigenschaften auf:

  • Fassverzerrung: Tatsächliches Sichtfeld > berechnetes Sichtfeld (typisch für Weitwinkelobjektive)
  • Pincushion distortion: Actual FOV < calculated (typical in telephoto)
  • Fisheye-Projektion: Erfordert alternative Modelle (äquidistantes, stereografisches)

Technische FAQ: Brennweite von Objektivsystemen

Was versteht man in der Optik unter Brennweite?

Die Brennweite ist der Abstand zwischen der hinteren Hauptebene eines Objektivs und dem hinteren Brennpunkt bei Fokussierung auf unendlich, gemessen in Luft (n=1). Sie quantifiziert die optische Brechkraft des Objektivs: Brechkraft (Dioptrien) = 1/f (Meter). Bei zusammengesetzten Linsensystemen ist dies die äquivalente Brennweite, die denselben Vergrößerungsfaktor erzeugen würde wie eine einzelne dünne Linse.

Wie berücksichtigt die Brennweitenformel dicke Linsen?

Bei dicken Linsen gilt weiterhin die Gaußsche Gleichung 1/f = 1/u + 1/v, allerdings werden die Abstände von den Hauptebenen H und H' aus gemessen, nicht von den Linsenoberflächen. Die Positionen der Hauptebenen hängen von der Linsendicke, den Oberflächenkrümmungen und dem Brechungsindex ab und lassen sich anhand der Gleichung für dicke Linsen oder mittels Matrix-Strahlverfolgung ermitteln.

Wovon hängt die Brennweite von Linsenkombinationen ab?

Für zwei dünne Linsen, die einen Abstand d voneinander haben, gilt: 1/f_combined = 1/f₁ + 1/f₂ - d/(f₁×f₂). Wenn d = 0 ist (Linsen berühren sich), vereinfacht sich dies auf die Addition der optischen Brechkräfte. Für dicke Linsenkombinationen sollten Matrix-Raytracing-Verfahren oder Kardinalpunktberechnungen verwendet werden.

Wie wirkt sich die Temperatur auf die Brennweite aus?

Die Brennweite ändert sich temperaturabhängig durch drei Mechanismen: die Änderung des Brechungsindexes im Linsenmaterial, die thermische Ausdehnung der Linsenelemente und die Ausdehnung des Objektivtubus. Die Größe und das Vorzeichen der Verschiebung hängen davon ab, ob die Elemente aus Glas oder Kunststoff bestehen, sowie vom Material des Gehäuses. Dies ist entscheidend für Präzisionsanwendungen.

Was ist der Unterschied zwischen effektiver Brennweite und hinterer Brennweite?

Effective focal length (EFL) is an optical parameter measured from the rear principal plane to the focal point. Back focal length (BFL) is a mechanical parameter measured from the rear lens vertex to the focal point. In telephoto designs BFL < EFL; in retrofocus designs BFL > EFL.